Совместная плотность: условие на точное значение

Если можешь нормировать сечение треугольной области и отличить его от исходной плотности X, переходи к «Теперь сам».

Как думаешь, что осталось после точного измерения

Есть два момента X и Y внутри секунды, причём известно, что X раньше Y. Совместная модель равномерно заполняет треугольник 0<x<y<1. Теперь прибор сообщил Y=1/2. Может ли X по-прежнему находиться в [0,1]? Нет: после такого условия остаётся только участок от 0 до 1/2.

Но вероятность события Y=1/2 равна нулю. Прямая подстановка P(X≤a,Y=1/2)/P(Y=1/2) дала бы 0/0. Это не запрет на анализ точного измерения. Нужен другой переход: условие на тонкую горизонтальную полосу, а затем уменьшение её толщины. Он сохраняет сведения о форме сечения.

На что это похоже

План здания с равномерно распределёнными посетителями. Чтобы узнать распределение по горизонтальной координате, складываешь посетителей всех этажей с этой координатой. Чтобы узнать горизонтальное положение человека, чей этаж уже известен, оставляешь только нужный этаж и заново нормируешь доступную длину.

Планы могут иметь одинаковую общую ширину, но разную форму: прямоугольник или треугольник. Поэтому одного распределения координаты X недостаточно, чтобы восстановить её закон после знания Y. Совместная модель хранит связь, которую отдельные средние и отдельные плотности могли потерять.

Механизм: интегрирование и сечение

Совместная функция распределения F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) накапливает массу нижнего левого прямоугольника. В рассматриваемой модели совместная плотность неотрицательна и её интеграл по всей плоскости равен 1. Вероятность любой области получаем суммированием маленьких прямоугольников площади dx·dy.

Маргинальные плотности оставляют одну координату: fX(x)=∫f(x,y)dy, fY(y)=∫f(x,y)dx. Это не подстановка y=0 или какого-то среднего Y. Интегрируются все допустимые значения второй координаты. В областях, где совместная плотность нулевая, добавлять нечего.

Для независимых X,Y совместная функция распределения равна FX(x)FY(y). При наличии плотностей это соответствует f(x,y)=fX(x)fY(y) почти всюду: изменение плотности на границе нулевой площади не меняет вероятностей. Факторизацию проверяют и с учётом носителя. Запись «2=2·1» внутри треугольника не доказывает независимость, потому что сам треугольник связывает координаты.

Правило

Для рассматриваемых гладких сечений при fY(y)>0 условная плотность X при Y=y равна fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(y). Вероятность интервала X интегрирует эту плотность по интервалу, условное среднее - интегрирует x с этой плотностью. Если условие задано областью положительной вероятности, обычное отношение вероятностей продолжает работать.

Откуда появляется деление на fY(y)? В полосе y≤Y≤y+h вся масса примерно fY(y)h, а часть с X в коротком интервале ширины dx около x примерно f(x,y)dx·h. Толщина полосы сокращается. Устремляя её к нулю в гладком внутреннем участке, получаем указанное отношение. При fY(y)=0 это вычисление не определяет условный закон; применять формулу с нулевым знаменателем нельзя.

Разбор: равномерность на треугольнике

Площадь области 0<x<y<1 равна 1/2. Поэтому совместная плотность внутри равна 2. При фиксированном y допустимы x от 0 до y, откуда fY(y)=2y. При фиксированном x допустимы y от x до 1, откуда fX(x)=2(1−x). Каждая маргинальная плотность интегрируется в 1.

При условии Y=y отношение плотностей равно 2/(2y)=1/y на (0,y). Это равномерный закон на сечении, поэтому E[X|Y=y]=y/2. Для y=1/2 вероятность X≤1/4 равна 1/2. Без условия она другая: P(X≤1/4)=∫₀^(1/4)2(1−x)dx=7/16. Знание второй координаты изменило распределение первой.

from fractions import Fraction


def conditional_cdf(a, y):
    if not 0 < y < 1:
        raise ValueError("y должен быть внутри (0,1)")
    return max(Fraction(0), min(Fraction(1), a / y))


for y in [Fraction(1, 4), Fraction(1, 2), Fraction(3, 4)]:
    print("y =", y, "fY =", 2 * y,
          "E[X|Y=y] =", y / 2)
    print("P(X <= 1/4 | Y=y) =", conditional_cdf(Fraction(1, 4), y))
print("P(X <= 1/4) =", 2 * Fraction(1, 4) - Fraction(1, 4) ** 2)

y = 1/4 fY = 1/2 E[X|Y=y] = 1/8
P(X <= 1/4 | Y=y) = 1
y = 1/2 fY = 1 E[X|Y=y] = 1/4
P(X <= 1/4 | Y=y) = 1/2
y = 3/4 fY = 3/2 E[X|Y=y] = 3/8
P(X <= 1/4 | Y=y) = 1/3
P(X <= 1/4) = 7/16

Программа вычисляет только внутренние сечения 0<y<1; сообщение об ошибке защищает условие применимости. max и min обрезают CDF до 0 и 1: если порог a выше всего сечения, вероятность уже равна 1. По мере увеличения y тот же порог 1/4 занимает меньшую долю доступного интервала.

Разбор: квадрат и условие положительной ширины

Теперь X и Y независимо равномерны на [0,1]. Совместная плотность равна 1 на всём единичном квадрате, обе маргинальные плотности тоже равны 1. Внутреннее сечение Y=y не меняет закон X: условная вероятность X≤1/4 остаётся 1/4. Здесь факторизация работает и для высоты, и для всей области.

Вернёмся к треугольнику и заменим точное условие на Y≤1/2. Его вероятность равна ∫₀^(1/2)2y dy=1/4. Для X≤1/4 одновременно остаётся площадь под сечениями от x=0 до 1/4 и y от x до 1/2. Вероятность этой области равна ∫₀^(1/4)2(1/2−x)dx=3/16. Разделив на 1/4, получим условную вероятность 3/4. Это не ответ 1/2 при условии Y=1/2: широкая область и её верхняя граница - разные сведения.

Что ломается без этого

Подставляют Y=y в совместную плотность и забывают нормировать. В треугольнике при y=1/2 такая ошибка случайно не видна: сечение плотности 2 имеет длину 1/2 и уже даёт площадь 1. При y=1/4 оно даст только 1/2. Поэтому проверка одного красивого сечения может скрыть дефект; полезно взять два разных y.

Другая ошибка - восстанавливать совместный закон по двум маргинальным как произведение без предположения независимости. Маргинальные распределения описывают координаты по отдельности и не задают, какие пары могут появляться. Например, сортировка двух независимых равномерных точек создаёт именно треугольную область: упорядоченные результаты уже зависимы.

Зачем это в работе

Когда моделируешь время ответа двух связанных этапов, знание второго времени может изменить прогноз первого. При оценке моделей по данным условные плотности также переводят наблюдение в сведения о неизвестной величине. Сначала нужно описать совместную модель, затем нормировать нужное сечение; произвольное деление двух чисел, названных «плотностями», этой последовательности не заменяет.

Теперь сам

В треугольной модели известно Y=3/4. Найди P(X≤1/4 | Y=3/4) и E[X|Y=3/4]. Совпадают ли эти ответы с равномерным X на всём [0,1]?