Конспект: непрерывная вероятность и ожидание

Понятия

CDF F(x)=P(X≤x) накапливает вероятность слева от x. Плотность f неотрицательна и интегрируется в 1. Здесь рассматриваются распределения с плотностью; отдельные точки массы не имеют.

Совместная плотность f(x,y) хранит связь координат. Маргинальная плотность интегрирует вторую координату. Условная плотность нормирует выбранное сечение.

Порядковая статистика Yk - k-я точка после сортировки выборки. Интенсивность λ измеряется событиями на единицу времени, а среднее экспоненциальное ожидание 1/λ - единицами времени.

Что унести

P(a<X≤b) = F(b)-F(a) = ∫[a,b] f(x)dx
E[g(X)] = ∫ g(x)f(x)dx, когда среднее определено
Var(X) = E[X²]-E[X]², при конечном втором моменте
X≥0: E[X] = ∫[0,∞) P(X>t)dt, возможно +∞

fX(x) = ∫ f(x,y)dy
fY(y) = ∫ f(x,y)dx
при fY(y)>0 в рассматриваемых гладких сечениях:
    fX|Y(x|y) = f(x,y)/fY(y)
независимость: f(x,y)=fX(x)fY(y) почти всюду

Факторизация учитывает носитель. Например, f=2 на 0<x<y<1 даёт fY(y)=2y и условный X~U[0,y]; исходный X имеет fX(x)=2(1−x). Точное условие Y=y не считается делением двух нулевых вероятностей.

Для n независимых U[a,b]: E[Yk]=a+(b−a)k/(n+1). Общий интервал делится на n+1 промежутков одинакового среднего, но их случайные длины обычно различаются. После сортировки точки зависимы.

Независимая экспоненциальная гонка:
    минимум ~ Exp(сумма λi)
    P(первым сработает i) = λi / сумма λj
    E[время первого] = 1 / сумма λi

При усиленной обратной связи x^p/(x^p+y^p), p>1, обе корзины с положительным начальным наполнением можно вложить в гонку Exp(z^p). Суммы ожиданий конечны почти наверное, поскольку сходится Σ1/z^p. Меньшее время накопления определяет почти верного монополиста. Номер последнего успеха проигравшей корзины случаен; общего срока теорема не даёт.

Ловушки джокера

Высота вместо площади. Плотность может быть больше 1. Для полосы разной ширины нужна её площадь, а не одна высота.

Нулевое событие принимают за невозможное. В модели с плотностью каждая отдельная точка имеет вероятность 0, хотя результат будет какой-то точкой.

Условие не нормируют. Сечение совместной плотности само по себе обычно не имеет интеграла 1; делить нужно на маргинальную плотность.

Порядок заменяют сеткой. Средние k/(n+1) не задают постоянные положения в каждом опыте. Независимость исходных точек после сортировки теряется.

Часы путают со сроком. Среднее 1/λ не обещает завершения к этому моменту. Отсутствие памяти относится к экспоненциальной модели, а не к любому ожиданию.